Les vecteurs

peuvent-ils être

divisés ?

Présentation de la démarche

 

 Les premiers pas de la démarche présentant la face mathématique de la notion de division ont permis de prendre conscience du fait qu’il était possible de diviser des nombres.

 

Le concept d’espace vectoriel est introduit pendant les cours du secondaire et il n’aura échappé à personne que chaque vecteur a un nombre entier de composantes ; ce nombre coïncide avec la dimension de l’espace auquel appartient ce vecteur.

 

L’espace de notre vie quotidienne a la dimension trois parce qu’il est possible de s’y repérer grâce à trois directions principales coïncidant généralement avec la longueur, la largeur et la hauteur des pièces dans lesquelles on vit. C’est une méthode ancienne bien balisée par R. Descartes ; ce qui justifie de parler de repères cartésiens.

 

Revenons aux vecteurs et à leurs composantes. Puisqu’il est possible de diviser les composantes de chaque vecteur, il semble logique de penser qu’il serait éventuellement possible de diviser un vecteur donné par un autre.

 

Est-ce vraiment possible ?

 

Contre

L’affirmation lue sur certains forums selon laquelle cette opération ne peut pas exister se base en partie sur les arguments suivants :

 

• Nous ne savons pas si l’écriture :

 

u/v

 

          … est définissable ;

 

• En fait elle semble l'être mais nous ne savons pas la définir de manière unique.

 

Preuve :

En effet, soit un espace vectoriel E(D, K) - c’est-à-dire un espace vectoriel de dimension entière D bâti sur un corps K- elle pourrait l’être en écrivant :

 

u/v 

equivalent à

 (u(1), …, u(D))/(v(1), …, v(D))

=

(u(1)/v(1), …, u(D)/v(D))

 

Mais elle pourrait aussi l’être en écrivant :

 

u/v 

equivalent à

(…, u(p), …)/(…, v(p), …) = (…, u(p)/v+, …) 

p = 1, …, D.

 

… écriture dans laquelle v+ désigne la somme de toutes les composantes du vecteur v.

 

Et elle pourrait l’être encore d’une infinité de façons. ‹

 

• Si une division des vecteurs est définissable et existe, elle ne peut être l’inverse d’un produit scalaire.

 

Preuve :

Fortement inspirés par la notion de structure de groupe due à E. Galois, nous avons coutume de considérer que toute division est l’opération en quelque sorte inverse d’une multiplication.

 

Il se trouve :

-    qu’il existe au moins un ensemble d’opérations de multiplication impliquant deux éléments d’un espace vectoriel - il s’agit du « produit scalaire de deux vecteurs dans un contexte déterminé par l’élément [B] de M(D, K)»- et

 

- que ces opérations ne sont pas internes sur E(D, K) puisque :

 

< u, v >[B] = b(p, q).u(p).v(q) = s dans K

p, q = 1, …, D.

              

Donc, s’il existe quand même une division réalisable de manière interne à l’aide des éléments de E(D, K), cette opération ne peut pas être considérée comme l’inverse d’un produit scalaire réalisé sur les éléments de cet espace vectoriel. ‹

 

Pour 

 

• Le contre-argument précédent est subtil mais faible puisque :

  • Il dit seulement que si nous parvenons à définir un ensemble de divisions agissant de manière interne sur des vecteurs de E(D, K), alors l’ensemble des opérations inverses de multiplication agissant sur les éléments de cet ensemble n’est pas celui des produits scalaires.

  • Il n’interdit pas de définir des opérations multiplicatives internes sur E(D, K) ; il reste à le faire.

 

• Il est possible de définir des opérations multiplicatives internes sur E(D, K).

 

Pour preuve, nous citerons les produits tensoriels éventuellement déformés – tout en ayant conscience du fait qu’il existe une infinité d’autres opérations de ce genre ; par exemple le produit vectoriel dans les espaces de dimension trois. 

 

Exemple de la torsion dans les espaces de dimension trois.

De fait :

• Le produit vectoriel classique existe sur les espaces vectoriels réels de dimension D = 3 :

 

u, v dans E(3, R) => u x v dans E(3, R)

 

• La notion de torsion autorise à poser dans certaines conditions sur l’espace E*(3, R) qui est le dual du précédent :

 

|u x v > = [P].|v > + |z > dans E*(3, R)

[P] dans M(3, R)

 

Ecriture dans laquelle la matrice carrée (3 lignes – 3 colonnes) [P] dont les « entrées » sont réelles représente alors une rotation tandis que le vecteur résiduel z désigne une translation.

 

Ainsi, en considérant l’exemple de la torsion exercée dans l’espace et en se remémorant le fait que les éléments de M(3, R) sont également une forme particulière de vecteurs, il semble permis de définir la division d’un produit vectoriel par son second argument. Le résultat principal de cette division un peu spéciale étant la matrice [P] et son reste s’identifiant avec le vecteur z. A la limite, il devient possible de proposer l’écriture symbolique :

 

(u x v)/v

équivalent à 

([P], z) dans M(3, R) x E(3, R)

 

Pour être tout à fait cohérent

 

Les premiers pas de la démarche ont insisté sur la nécessité de préciser le domaine d’appartenance des nombres à diviser ; ici, il s’agit du corps K.

 

Ils ont aussi véhiculé une autre information de manière subliminale ; à savoir : les arguments de la paire (partie principale, reste) représentant le résultat d’une division doivent également appartenir à K ; autrement dit, le résultat devait être un élément de K x K.

 

L’application de ce principe implicite voudrait donc que le résultat de la division d’un élément de E(D, K) par un autre élément de E(D, K) soit un élément de E(D, K) x E(D, K).

 

Par conséquent, pour appliquer ce principe à l’exemple pédagogique ci-dessus, il devient nécessaire de trouver au moins une application surjective de E(3, R) vers M(3, R), soit f, assurant du fait que chaque partie principale d’une division, la matrice [P] dans M(3, R), a au moins un antécédent dans  E(3, R), par exemple l’élément w, tel que :

 

f([P]) = w

 

La théorie de la question (E)

 

Toute la « théorie dite de la question (E) » (piste rouge - lien externe) se bâtit :

• autour de la découverte des paires ([P], z) lorsque le produit vectoriel classique est remplacé par un produit tensoriel déformé par un quelconque cube A dont les entrées sont par exemple choisies arbitrairement dans R ;

 

• puis par généralisation de ces idées initiales.

 

Pour y parvenir :

• Elle commence par introduire des outils mathématiques indispensables ;

 

• développe des méthodes de décomposition/division des produits tensoriels déformés par toutes sortes de cubes ;

 

• étudie les structures des espaces munis de ces produits tensoriels déformés.

 

Lire la suite de cette première présentation sur la page exposant la sémantique (synonyme : le vocabulaire) spécifique de la théorie en cliquant sur le lien ci-dessous...