Les premiers pas

Une fausse simplicité.

 

Supposons que je concentre ma curiosité scientifique sur le concept de division et que je me mette en tête de l’exposer à un auditoire ne connaissant rien sur le sujet.

 

Je commencerai sans doute mon exposé avec une question simple, voire apparemment stupide : « Que vaut six divisé par trois ? »

 

6/3 = ?

 

La réponse fuserait immédiatement : deux !

 

6/3 = 2 !

 

Je demanderai ensuite naïvement : « Pourquoi ? » et quelqu’un répliquera aussi sec : parce que c’est évident et naturel.

 

Et c’est un fait indiscutable : deux, trois, six et beaucoup d’autres nombres sont des entiers naturels avec lesquels nous sommes à la fois accoutumés de compter et, à la fois, à l’aise pour le faire.

 

La nécessité de préciser le domaine de définition des discussions.

 

Malheureusement pour les inconditionnels de la simplicité, et comme beaucoup d’entre nous le savent déjà, il existe bien d’autres ensembles de nombres : les entiers relatifs regroupés dans Z = {-…, -2, -1, 0, 1, 2, …}, les fractions rassemblées dans Q ={…-5/17, …, 9/253, …}, les réels réunis dans R, les complexes dans C, etc.

 

Ainsi, ayant soumis cette remarque à votre sagacité, ma nouvelle question serait : « Mais pourquoi personne a-t-il donné comme réponse spontanée à ma demande initiale :

 

6 = (½. 3) + 9/2 ou 6 = (2,3. 3) - 0,9 ? »

 

En effet, ces deux réponses, prises au hasard parmi une multitude d’autres, auraient également été juste si l’énoncé en avait été :  « Quelle est le résultat de la division de six par trois lorsque le résultat peut appartenir à Q, l'ensemble des nombres rationnels, ou à R, l'ensemble des nombres réels, etc. ? »

 

Mais, mea culpa, je n’ai pas suffisamment précisé ma question.

 

 

Une division livre toujours une paire de données.

 

 Cela étant dit : « Que constatons-nous encore ? » Chaque réponse complète n’est pas constituée d’un seul nombre, mais d’une paire de nombres qui peuvent génériquement être baptisé (partie principale, partie résiduelle) de la division.

 

La réponse triviale donnée à ma demande initiale, deux, induit en erreur et risque de nous empêcher de remarquer cette évidence.

 

Même cette première réponse spontanée était en réalité incorrecte parce qu'elle était partielle ; la bonne réponse est (deux, zéro) = (résultat principal, reste) :

 

6/3 = (2.1) + 0

 

Ces réflexions basiques constituent les premiers éléments fondamentaux d’une discussion sur le concept de division. Elles réapparaissent silencieusement au sein des divers travaux exposés sur ce site ; au détail important près que le concept y est appliqué, non plus à des nombres pris dans tel ou tel ensemble mais à des vecteurs.

 

 

Commentaires

 

Ces premiers paragraphes constituent donc une première et brève présentation d’une notion moins triviale qu’il y paraît.

 

Le sujet semble au départ sans difficulté et presque sans intérêt. Une lecture en diagonale risque d’aboutir à un haussement d’épaule et à une remarque désobligeante du genre : « Mais pourquoi, diable, passer du temps à approfondir une thématique aussi banale et en principe traitée d’un revers de manche dans les classes les plus élémentaires du parcours scolaire ? »

 

Une lecture approfondie et critique offre finalement la possibilité de balayer un nombre impressionnant de sujets mathématiques modernes et, au travers de leurs applications physiques, de toucher aux interrogations scientifiques les plus récentes, parfois encore en cours d’investigation, telles que celles entourant la grande famille des théories de « gravitation quantique ».