LA-QUESTION (E)

Résumé de la démarche physique

 Du point de vue de la physique la démarche peut à peu près s'énoncer de la sorte.

Dans le monde classique, connu pour être tridimensionnel et euclidien, deux opérations complémentaires l'une de l'autre ont été définies : le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans notre environnement habituel, la trigonométrie constitue un ciment naturel entre ces deux opérations.

A la fin de dix-neuvième siècle, Riemann, élève de Gauss, introduit une extension de la notion de produit scalaire. Elle lui sert à redéfinir la notion de distance dans un environnement non-euclidien. Cette nouvelle approche aura d'immenses conséquences dans le cadre de la théorie de la relativité générale (A. Einstein). Certaines d'entre elles continuent à captiver la curiosité des chercheurs.

Le principe de Palatini affirme que le comportement des métriques est découplé (indépendant) de celui des connexions (affines, de spins, etc.).

Comme les métriques sont liées à la notion de produit scalaire, et comme les connexions de spins sont liées à la notion de produit extérieur qui est une généralisation de celle de produit vectoriel, il semble légitime d'explorer le comportement relatif de ces deux opérations dans les espaces de dimension supérieure à trois. En quelque sorte, pour savoir comment fonctionne la trigonométrie dans les espaces qui ne sont pas euclidiens.

Comme le produit extérieur n'est pas une opération interne (d'où son nom), il faut commencer par inventer une généralisation du produit vectoriel aux espaces dont la dimension est supérieure à trois. C'est là toute la raison d'exister des produits de Lie généralisés et déformés apparaissant dans la théorie de la question (E).

L'ambition de ce projet consiste ensuite à découvrir s'il est possible d'introduire utilement cette notion de produit de Lie déformé en physique, comme ciment entre la théorie de la relativité et la physique quantique.

Je démontre que oui et j’en découvre progressivement les divers domaines d’application.

Résumé de la démarche mathématique

 Les définitions des outils mathématiques abondamment manipulés dans les diverses explorations proposées sur ce site se trouvent dans le document d’

« introduction au concept de décomposition des produits déformés ».

La démarche privilégie l'application de cet outil à l’équation de Klein-Gordon et à la loi dite de Lorentz-Einstein (dans sa formulation académique) qui se trouve simplement être la version covariante d'une vieille loi classique de l'électromagnétisme.

Elle procède comme le ferait un étudiant, c’est-à-dire en ne négligeant pas l'apprentissage de données de base.

C’est la raison pour laquelle elle cherche à savoir dans quelle mesure les notions de structure de groupe, d'anneau, de corps, etc… s’appliquent ou non aux espaces vectoriels munis de produits déformés.

C'est ainsi qu'elle démontre en quoi les espaces munis de produits de Lie déformés ne peuvent jamais être munis d'une structure de groupe (à cause d’une problématique centrée sur l’absence de neutre ; cette problématique mène l’exploration vers l’étude des structures involutives éventuelles dont ces espaces peuvent être équipés) mais définissent automatiquement des algèbres de Sophus Lie.

La démarche inclut la définition d'un type que je crois nouveau de dérivation ; je veux parler de la dérivation d'un vecteur par rapport à un bi-vecteur ou, équivalemment, par rapport à un élément infinitésimal de surface.